Вопрос от посетителя:
постройте сечение параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки A C M, где М середина ребра A1 D1
Илюха отвечает:
Способ а)
Через две точки можно провести прямую, притом только одну.
Две точки А и М принадлежат одновременно двум плоскостям: плоскости грани и секущей плоскости. ⇒ АМ – линия их пересечения.
Аналогично точки А и С принадлежат грани параллелепипеда и секущей плоскости. ⇒ АС – линия их пересечения.
Плоскости А1D1DA и D1C1CD пересекаются по ребру DD1
Продлим АМ и DD1 до их пересечения в точке Е.
Точки Е и С лежат одновременно в двух плоскостях, ⇒ ЕС – линия их пересечения, которая пересекает ребро D1C1 в точке К.
МК – линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. КС – линия пересечения секущей плоскости с боковой гранью D1C1CD. Трапеция МАКС – искомое сечение.
Способ б)
Противоположные грани параллелепипеда – равные параллелограммы и лежат в параллельных плоскостях..
Точки А и М лежат одновременно в двух плоскостях: АДД1А1 и в секущей плоскости. Значит МА – линия пересечения этих двух плоскостей.
Точки А и С лежат одновременно в двух плоскостях – АВСD и плоскости сечения. Значит, АС – линия их пересечения.
По свойству параллельных плоскостей:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Отсюда линия пересечения MM1 искомой плоскости на верхнем основании параллелепипеда параллельна АС и проходит через середины ребер А1D1 и C1D1. Соединив К и С, получим искомое сечение – трапецию АМКС