Вопрос пользователя:
Помогите решить, плиз. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если основания равны 16 и 30, боковые стороны 13 и 15.
Илюха отвечает:
я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый. Я просто переношу решение оттуда:((((
Точки пересечения биссектрис – это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры – ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы “ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ”, а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ (30 + 16)/2 – 14 = 9 :)))
(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности – пояснение такое :))).
Еще вариант решения, по сути – такой же
Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это – центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая – правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z – искомое расстояние. И есть 2 соотношения.
z+x+y = 16;
z+(13 – x)+(15 – y) = 30;
Складываем и делим на 2.
z = 9
Еще вариант решения – проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть – с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (16 – z) и (30 – z), где z – ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее – см. начало :)))