Вопрос от посетителя:
Помогите решить моему другу Андрею уравнение, моих знаний, к сожалению, недостаточно: p+g=(p-g)^r. Найти все тройки простых чисел p,g,r.
Илюха отвечает:
Я попытаюсь. Боюсь, что доказательство будет неполным. Но идея – понятна. Простые числа: делятся только на себя, или 1. Ясно что они – только нечетные ( и число 2 конечно). Сумма простых чисел, как и их разность – всегда четные числа. Универсальная формула четного числа: 2k, где k – целое.
p+g =( 2k)^r
p-g = 2k
Сложив получим :
2p = (2k)[(2k)^(r-1) + 1] Или
p = k[(2k)^(r-1) + 1]
Так как p -простое число, то k=1 и:
p = 2^(r-1) + 1
g = p – 2.
При r = 2, получим: p = 3, g = 1.
При r = 3, получим: p = 5, g = 3
Далее ряд не продолжается: одно из чисел – p или g обязательно будет не простым.
Итак всего две тройки чисел:
3, 1, 2; и 5, 3, 3.