Вопрос пользователя:
пожаааалуйста помогите ? все те же авторские(((( В параллелепипеде MPKHM1P1K1H1 все грани-ромбы; УголM1MH+ уголM1MP=180. Выясните, перпендикулярна ли прямая P1H прямой MK.
Илюха отвечает:
Это не такая простая задачка. МК перпендикулярно РН, это диагонали ромба.
Если предположить, что P1Н препендикулярно МК, то тогда обязательно МК должно быть перпендикулярно ВСЕМ ребрам РР1, НН1, ММ1, КК1, поскольку эти ребра параллельны между собой, а PH1 вместе с РН одназначно задает плоскость содержащую одно ребро НН1, перпендикулярную МК.
На самом деле верно и обратное – если МК перендикулярно ЛЮБОМУ ребру РР1, НН1, ММ1, КК1, то перпендикулярна и прямая P1H прямой MK.
Докажем, что МК перпендикулярна ММ1. (Здесь хорошо бы чертеж нарисовать того трехгранного угла, у которого 2 угла в сумме дают 180 градусов)
Точка М1 проектируется на БИССЕКТРИСУ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО угла к углу НМР. В самом деле, если из М1 провести перпендикуляры к РМ и МН, то их величины будут ММ1*cos(РММ1) и ММ1*cos(НММ1), поскольку сумма этих углов 180 градусов, то величины РАЗЛИЧАЮТСЯ ЗНАКАМИ. То есть одна из точек лежит на том же расстоянии от М, но НА ПРОДОЛЖЕНИИ РМ за точку М. Соответственно, проекция М1 на плоскость МРН равноудалена от стороны МН и ПРОДОЛЖЕНИЯ РМ (обозначим эту проекцию М2) . То есть ММ2 – биссектриса угла, дополнительного к РМН.
Конечно же, она параллельна РН (по свойствам ромба, например), и перпендикулярна МК. Поэтому МК перпендикулярна плоскости, содержащей ММ2 и М1М2 (это ведь проекция, то есть М1М2 перпендикулярна всей плоскости МКРН).
Итак, МК перпендикулярна ММ1. А значит, и НН1, А значит, плоскости РНН1. А значит, и РН1, и Р1Н (Р1 лежит в плоскости РНН1, учитель может потребовать это объяснить!)…. Всё.