Вопрос от посетителя:
Площадь треугольника равна 90. Биссектриса АД пересекает медиану ВК в точке Е. При этом ВД:СД=2:1. Найти площадь ЕДСК.
Илюха отвечает:
По свойству медианы в треугольнике:
Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника →
S abk = S bck = 1/2 × S abc = 1/2 × 90 = 45
Рассмотрим ∆ АВС:
По свойству биссектрисы в треугольнике:
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам → АВ / АС = BD / CD = 2 / 1
Значит, BD = 2x , CD = 1x, AB = 2y, AC = 1y
AK = KC = 1/2 × AC = 1/2 × y = y / 2
Рассмотрим ∆ АВК:
По свойству биссектрисы в треугольнике:
АВ / АК = 2y / ( y/2 ) = 4 / 1
Значит, ВЕ = 4z , EK = 1z
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равный угол →
S bck / S bed = ( BK × BC )/( BE × BD ) = ( ( 4z + z ) × ( 2x + 1x ) ) / ( 4z × 2x ) = ( 5z × 3x ) / ( 4z × 2x ) = 15/8
S bed = ( 45 × 8 ) / 15 = 3 × 8 = 24
S edck = S bck – S bed = 45 – 24 = 21
ОТВЕТ: S edck = 21