Вопрос от посетителя:
Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найдите длины сторон и высоты треугольника, проведённой к основанию.
Илюха отвечает:
Пусть ABC – треугольник, BH – высота к основанию AC, ACDE – квадрат
Пусть, AB=x и AC=y, тогда так как AH=HC (треугольник равнобедренный) имеем, что AH=y/2, тогда из треугольника ABH
(BH)^2=(AB)^2-(AH)^2
(BH)^2=x^2-y^2/4=(4*x^2-y^2)/4
BH=sqrt(4*x^2-y^2)/4
так как из условия задачи y-x=1 => x=y-1, то равенство примет вид
BH=sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4
SABC=AC*BH/2
SABC=y*sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4
SACDE=(AC)^2
SACDE=y^2
Из условия задачи
3*SABC=SACDE
то есть
3*y*sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4=y^2
Возведем обе части равенства в квадрат
(9*y^2/16)*(4*(y-1)^2-y^2)=y^4
9y^2*(4*(y^2-2y+1)-y^2)=16y^4
9y^2*(3y^2-8y+4)=16y^4
27y^4-72y^3+36y^2=16y^4
11y^4-72y^3+36y^2=0
y^2*(11y^2-72y+36)=0
y=0 – побочный корень y>0
11y^2-72y+36=0
D=b^2-4ac=3600
y1,2=(-b±sqrt(D))/2a
y1=6/11
y2=6
1) y=6/11
x=y-1=6/11-1<0 - побочный корень
2) y=6
AC=6 – основание треугольника
AH=HC=6/2=3
x=y-1=6-1=5
AB=BC=5 – боковые стороны треугольника
(BH)^2=(AB)^2-(AH)^2=25-9=16
BH=4 – высота треугольника