Вопрос от посетителя
Периметр квадрата описанного около окружности равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность
Знаю что ответ 9√3 дм
Отвечает Илюха:
Это вряд ли, насчет корня из трех, сейчас поглядим.
Ясно, что сторона квадрата равна диаметру, то есть радиус окружности 2.
Центральный угол, соответтствующий стороне вписанного ПЯТИугольника равен 360/5 = 72 градуса., отсюда ПОЛОВИНА стороны равна R*sin(72/2) = 2*sin(36), а периметр, соответственно, 10*sin(36);
Уж и не знаю, не похоже это на 9*корень(3)… сейчас попробую вычислить.
Ну, не равно, конечно, синус 36 градусов выражается через корень из 5 :)))
Ответ ДЛЯ ПЕРМЕТРА 5*корень(5/2 – (1/2)*корень(5)).
Приводить вычисления синуса 36 градусов я тут не буду. Вполне достаточно 10*sin(36).
Между прочим, приближенно периметр будет 5,87785252292473,
а 9*корень(3) = 15,5884572681199, это почти в 3 раза больше.
Все таки напишу, как синус вычисляется, для 18 градусов.
cos(18) = sin(72) = 2*cos(36)*sin(36) = 4*cos(36)*sin(18)*cos(18);
1 = 4*sin(18)*(1-2*(sin(18))^2);
пусть х = sin(18); тогда
8*x^3 – 4*x +1 = 0;
Здесь самый трудный момент, этот кубический многочлен имеет один рациональный корень 1/2 (кстати, это наводит на мысль о существовании геометрического построения угла в 18 градусов на основании прямоугольного треугольника с углами 30 и 60, это надо обдумать). Раз 1/2 – корень, то этот многочлен нацело делится на
(2*х – 1),
то есть представим в виде (это окончательный результат)
8*x^3 – 4*x +1 = (2*х – 1)*(4*х^2 + 2*x – 1) = 0;
у квадратного многочлена
4*х^2 + 2*x – 1
два корня, один из них – положительный
х1 = (корень(5) – 1)/4;
Это и есть sin(18). Вычислить теперь косинус, перемножить и умножить на 2 совсем не сложно, ответ я уже приводил.
Надо же, как интересно! Если построить равнобедренный треугольник с углами 72, 72 и 36 (приятное совпадение), то биссектриса угла 72 градуса делит его (треугольник) на 2 РАВНОБЕДРЕННЫХ треугольника, один из которых (содержащий основание) подобен исходному, сама биссектриса же при этом равна основанию и отрезку боковой стороны, который она отсекает, – дальнему от основания (а докажите!:)). Отсюда ОЧЕНЬ легко получить алгебраическое выражение величин углов 18, 36 и 72 градуса. Но это – сами :))))