Вопрос пользователя:
Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с углом в 60 градусов. Найдите острый угол между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани , если отношение высоты призмы к стороне ее основания равно корню из 2.
Илюха отвечает:
Призма АВСЕА1В1С1Е1,
АВ=ВС=СЕ=ЕА=А1В1=В1С1=С1Е1=1(без ограничения общности примем сторону основания за единицу измерения длины).
Тогда АА1=ВВ1=СС1=ЕЕ1=√2;
Угол ВАЕ = 60 градусов.
Нужно найти угол между АС и ЕС1.
Поскольку АВ1 II ЕС1, то ищем угол между АВ1 и АС. Треугольник АСВ1 – заведомо равнобедренный, АВ1=СВ1=√((√2)^2 + 1^2) = √3;
Найдем АС. Ромб в основании “сложен” из двух правильных треугольников со стороной 1, и большая диагональ АС равна
АС = 2*1*sin(60) = 2*√3/2 = √3;
Таким образом, АСВ1 – равносторонний треугольник, и все углы в нем равны 60 градусов. Это ответ.