Вопрос пользователя:
основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см,8 см,6 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды
Илюха отвечает:
Рисунок к задаче – во вложении.
SK, SM, SN – высоты (апофемы) боковых граней. SO – высота пирамиды.
Прям. тр-ки SOK, SOM, SON – равны, т.к. SO – общий катет и углы равны по условию.
Значит т. О – центр вписанной окр-ти для тр-ка АВС.
Тр-к АВС – прямоугольный, т.к. для него справедлива теорема Пифагора:
10² = 8² + 6²
Тогда его площадь:
S(ABC) = 6*8/2 = 24 cm²
С другой стороны:
S(ABC) = p*r, где р – полупериметр, а r – радиус вписанной окр-ти.
р = (10+8+6)/2 = 12 см. r = 24/12 = 2 cm.
Теперь, например, из тр-ка SOM находим апофему:
SM = r/cos45 = r*√2 = 2√2 см.
Теперь находим полную пов-ть пирамиды, сложив площади четырех тр-ов:
Sполн = S(ABC) + S(SAB) + S(SAC) + S(SBC) = 24 + (10*2√2 + 8*2√2 + 6*2√2)/2 =
= 24(1+√2) cm²
Ответ: 24(1+√2) см².