Вопрос от посетителя
Около окружности радиусом 3 описана равнобедренная трапеция.Площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции, равна 12.Найдите площадь трапеции.
Отвечает Илюха:
смотрите чертеж.
В этом 4угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них – диаметр окружности, то есть 6. Площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). Значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. А половина – 2. Значит sin(Ф) = 2/3. Ф – половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. ОЧЕНЬ ЛЕГКО увидеть, что Ф – угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны, см. рисунок, там отмечено). А дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр 6 делить на sin(Ф) = 2/3), она равна средней линии (почему? – это следует из свойства описанного 4угольника – суммы боковых сторон равны сумме оснований, а боковые стороны равны между собой, значит, боковая сторона равна средней линии :)), умножаете на диаметр (то есть на высоту трапеции), задача решена. Собрав все это получаем
S = (2*r)^2/sin(Ф) = 6^2*3/2 = 54.