Вопрос от посетителя
Одно натуральное число поделили с остатком на другое. Делимое оканчивается на 7, а остаток — на 6. На какие цифры оканчиваются делитель и частное (перечислите все возможности).
Отвечает Илюха:
Обозначим: n – делимое, m – делитель, k – частное, r – остаток.
Из условий задачи получаем, что n = n1n2n3…7, r = r1r2r3…6, где ni и ri – i-я цифра чисел n и r соответственно.
n = k*m + r, где r < m => n1n2n3…7 = k1k2k3…x*m1m2m3…y + r1r2r3…6 (*), где x – искомая цифра, на которую заканчивается частное, а y – искомая цифра, на которую заканчивается делитель.
Из (*) следует, что произведение k1k2k3…x*m1m2m3…y должно заканчиваться на 1. Окончание этого произведения определяется произведением его последних цифр, т.е. x*y
Рассмотрим все возможные значения x и найдем для них соответствующие значения y, при которых произведение x*y заканчивается на 1.
Рассмотрим таблицу, и отметим знаком – отсутствие подходящего нам y:
x y x*y
0 – –
1 1 1
2 – –
3 7 21
4 – –
5 – –
6 – –
7 3 21
8 – –
9 9 81
Мы нашли все возможные комбинации x и y, где x – искомая цифра, на которую заканчивается частное, а y – искомая цифра, на которую заканчивается делитель.
Приведем примеры для некоторых возможных комбинаций, удовлетворяющих условиям задачи и условиям нашей таблицы:
1. 247 = 11*21 + 16
2. 237 = 13*17 + 16
3. 237 = 17*13 + 16
4. 377 = 19*19 + 16
Ответ: Делитель и частное могут заканчиваться на 1 и 1, 7 и 3, 3 и 7, 9 и 9 соответственно.