Вопрос пользователя:
на растоянии 4см от центра шара проведено сечение. хорда ,удаленная от центра этого сечения на корень5 см стягивает угол 120′ . найдите объем шара и площадь его поверхности. за ранее спасибо
Илюха отвечает:
Изобразим круг, который является сечением шара. В нем покажем центр сечения О1, хорду АВ, отрезок О1Д, являющийся расстоянием от О1 до хорды АВ,. Хорда стягивает угол в 120⁰, значит, центральный угол АО1В равен 120⁰. О1Д делит хорду пополам.
Рассмотрим прямоугольный ΔАДО1. В нём угол АДО1 = 90⁰, угол ДО1А = 120⁰:2 = 60⁰, т.к высота равнобедренного ΔАО1В является и биссектрисой. ОА = r – радиус рассматриваемого кругового сечения является гипотенузой в ΔАДО1.
АО1 = ДО1: cos 60⁰ = √5: 0,5 = 2√5(см).
Осталось найти радиус шара.
Изобразим шар с центром в точке О, расстояние ОО1 до сечения задано (ОО1 = 4 см) проведём след сечения – прямую АО1В параллельную диаметру шара. Рассмотрим прямоугольный ΔАОО1, в котором биссектрисой является радиус шара R=АО, катетами ОО1 = 4см и АО1 = 2√5см.
Используем иеорему Пифагора: R = √(4² +(2√5)²) = √(16 +20) = √36 = 6(см)
Объём шара вычисляется по формуле
V = 4π·R³/3 = 4π·6³/3 = 288π(см³)
Площадь поверхности шара вычислим
S = 4π·R² = 4π·6² = 144π(см²)