найти тангенс (альфа+пи/4) если косинус 2альфа=1/3 и альфа принадлежит(0;пи/2)

Вопрос от посетителя:

$tg(a+frac{pi}{4})=frac{tga+tgfrac{pi}{4}}{1-tga*tgfrac{pi}{4}}=frac{1+tga}{1-tga};$ (1)

Теперь cos2a выразим через tga и сделав замену переменной tga = t, получим уравнение для t:

$cos2a=frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}=frac{1-t^2}{1+t^2}=frac{1}{3};$

$3-3t^2=1+t^2; 4t^2=2; t=frac{1}{sqrt{2}}.$ (2)

Взяли t положительным, так как в I четверти тангенс положителен.

Теперь находим искомое значение, подставив (2) в (1):

$tg(a+frac{pi}{4})=frac{1+frac{1}{sqrt{2}}}{1-frac{1}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}=(sqrt{2}+1)^2=3+2sqrt{2}.$

Ответ: $3+2sqrt{2}.$