Вопрос от посетителя:
-Найдите/
[2sin^3(a)-cos(a)]/[cos^3(a)+sin(a)]
если tg(a) является одним из корней уравнения 4x^4+9x^2+11x+3=0
-Решите систему/
sin(пx-3п/2)<=0
9x-2-2x^2>=x^-1
Илюха отвечает:
1. Преобразуем тригонометрическое выражение, поделив и числитель, и знаменатель на cos^(3)x и учтем, что 1/cos^2 x = 1 + tg^2 x:
Мы здесь подставили вместо tga его значение, равное (-1/2).
х=-1/2 – корень уравнения:
Из анализа левой части видно, что корень надо искать в области отрицательных чисел в промежутке (-1;0). Взяв среднее значение из этого интервала, сразу получили корень (-1/2). Задаваться вопросом о других корнях не будем, так как нам в задаче сказано, что tga является одним из корней приведенного уравнения.
Ответ: -4.
2) Первое неравенство означает что аргумент синуса лежит в нижней половине единичной окружности. Запишем несколько получившихся интервалов: ————-
П<=Пх-3П/2<=2П или: 2,5<=x<=3,5
-П<=Пх-3П/2<=0 или: 0,5<=x<=1,5
—————————— -1,5<=x<=-0,5
——– и так далее: длина интервала 1, а расстояние между ними – 2.
Теперь рассмотрим второе неравенство. Умножением на х оно разбивается на два:
при х>0: 2x^3-9x^2+2x+1 <=0 при x<0: 2x^3 -9x^2+2x+1>=0
Выражение в левой части раскладывается на множители. Сначала подбором угадывается первый корень х1 = 1/2. Затем делением исходного многочлена на (х-1/2) получим квадр. трехчлен (2x^2-8x-2), который имеет корни: х2 = 2-кор5, х3 = 2+кор5
(-) (+) (-) (+)
——-(2-кор5)/////0—–(1/2)///////////(2+кор5)—–
Заштрихованные области – решения данного неравенства.
Теперь проанализируем какие из интервалов первого неравенства отвечают заштрихованным областям (помня, что 2-кор5 примерно = -0,25, а 2+кор5 прим.= 4,25). Видим только один интервал, который и есть решение данной системы: 0,5<=x<=1,5
Ответ: [0,5; 1,5].