Вопрос от посетителя:
Найдите четыре последовательных нечетных числа, произведение которых равно 105. P.S. полученное уравнение решите рационально и с подробностями )))
Илюха отвечает:
первый способ
разложим 105 на простые множители
105=3*5*7
отсюда очевидно, что указаннным способом 105 можно расписать двумя способами
либо 105=1*3*5*7
либо 105=(-7)*(-5)*(-3)*(-1)
(число можно сколько угодно умножать на 1, если заменить хотя бы два из множителей 3, 5, 7 их произведением, то не получим последовательных нечетных чисел)
второй способ. Пусть первое число равно 2х-3, тогда второе число равно 2х-1, третье число равно 2х+1, 2х+3
(прим.: любое нечетное число имеет вид 2n+1, где n-некоторое целое число,
два последоватьных нечетных числа отличаются значением на 2,
так 3-1=2, 7-5=2, и т.д.)
(прим. начали с 2х-3 а не с 2х+1 для простоты вычислений, в таком слычае у нас “прекрасная” возможность применить формулу разности квадратов)
по условию задачи составляему уравнение:
(2x-3)(2x-1)(2x+1)(2x+3)=105
применяя формулу квадрата разности
(4x^2-9)(4x^2-1)=106
расскрывая скобки
16x^4-4x^2-36x^2+9=105
свдя подобные члены
16x^4-40x^2+9=105
перенеся все слагаемые в левую часть
16x^4-40x^2+9-105=0
сводя подобные члены
16x^4-40x^2-96=0
разделив обе части уравнения на 8
2x^4-5x^2-12=0
введя замену
x^2=t, t>=0
получаем из биквадартного квадратное уравнение и решаем его
2t^2-5t-12=0
D=5^2-4*2*(-12)=121
t1=(5-11)/(2*2)<0 - не подходит
t2=(5+11)/(2*2)=4
откуда x=2 или х=-2
а искомые числа либо 1, 3,5 ,7 либо -7, -5, -3, -1
или (третий способ – схожий со вторым, но с другими “заменами”)если обозначать все же первое число как 2х+1, второе тогда 2х+3, третье числ о2х+5, четвертое 2х+7, получим уравнение
(2х+1)(2х+3)(2х+5)(2х+7)=105
переменожив между собой первый и четвертый множитель, второй и третий поулчим уравнение
(4x^2+8x+7)(4x^2+8x+10)=105
далее водится замена t=4x^2+8x+7
и получим квадратное уравнение
t(t+3)=105
t^2+3t-105=0
находим t1, t2
потом возвращаемся к замене и решаем четыре квадаратных уравнения
приддем к тому же результату
ответ: 1,3 ,5,7 или -7, -5, -3,-1