Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-П; 2П]

Вопрос от посетителя

Отвечает Илюха:

Перепишем уравнение, учитывая, что $tg2x=frac{sin2x}{cos2x}$

$frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x$ —–(1)

В уравнение (1) выражение $cos2x$ находится в знаменателе, поэтому $cos2xneq0$ , или frac{pi}{2}+pi*m” title=”2xneqfrac{pi}{2}+pi*m” alt=”2xneqfrac{pi}{2}+pi*m” />, $m$ – целое

или frac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” title=”xneqfrac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” alt=”xneqfrac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” />, $m$ – целое—–(2)

Сократим в левой части уравнения (1) на $cos2x$ :

$sin2x=sin2x+sin4x$ , отсюда $sin4x=0$ , отсюда

$4x=pi*n$ , или $x=frac{pi*n}{4}$ , $n$ – целое ——(3)

Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

neqfrac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” title=”x=frac{pi*n}{4}neqfrac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” alt=”x=frac{pi*n}{4}neqfrac{pi}{4}+frac{pi*m}{2}” />, отсюда

neqpi+2pi*m” title=”pi*nneqpi+2pi*m” alt=”pi*nneq $pi$ pi+2pi*m” />, сокращая на , получим

neq1+2*m” title=”nneq1+2*m” alt=”nneq1+2*m” /> – нечетные числа

Другими словами $n$ принимает только четные значения!

Из условия следует, что $-pi leqfrac{pi*n}{4}leq2pi$ , отсюда

$-4 leq n leq 8$

Таким образом, $n$ принимает значения ${-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}$

Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом $a_{1}=-pi$ и последним седьмым членом

$a_{7}=frac{8*pi}{4}=2pi$

Теперь мы можем найти сумму $S$ всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии:

$S=7*frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*frac{-pi+2pi}{2}=3,5*pi$

Вопрос от посетителя

Отвечает Илюха:

Добавить свой ответ Отменить ответ