Вопрос пользователя:
найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.
Илюха отвечает:
Вообще-то полезно запомнить. В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен R = a/√3; а радиус вписанной окружности в 2 раза меньше, r = a/2√3;.
Прямой способ – применить теорему синусов 2*R*sin(60°) = a, откуда это сразу следует. Если теорема синусов незнакома – не беда, в правильном треугольнике все центры совпадают, и центр описанной окружности лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии (2/3 от длины медианы-биссектрисы-высоты) от вершины и (1/3 от длинны этой высоты) от стороны. То есть R = 2*H/3; r = H/3;
Высота равна H = а*√3/2, что легко сосчитать из треугольника с гипотенузой а и малым катетом а/2. А радиус R = (2/3)*a*√3/2 = a*√3/3 = a/√3; r = R/2 = a/2√3;
Ответ r = 2√3;