найдите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х-1) в точке х=-1.

Вопрос от посетителя

y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) – общий вид уравнения касательной к графику функции f(x) в точке х0

$f(x) = frac{x}{2x-1}$

x0 = -1

$f'(x) = frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2}=-frac{1}{(2x-1)^2}$

f(x0) = f(-1) = 1/3

f'(x0) = f'(-1) = -1/9

$y = frac{1}{3}-frac{1}{9}(x+1) = -frac{1}{9}(x-2)$ – уравнение касательной.

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

ОХ: у = 0

0 = -1/9 (х-2)

х = 2

OY: x = 0

y = -1/9(0-2) = 2/9

Таким образом, необходимо найти площадь треугольника, вершины которого: (0;0), (2;0), (0;2/9)

Очевидно, что треугольник прямоугольный, один из катетов равен 2, второй – 2/9.

$S = frac{ab}{2} = frac{frac{2}{9}*2}{2}=frac{4}{18}=frac{2}{9}$ ( кв.ед.)