Вопрос пользователя:
найдите наименьшее значение функции y=x^3-4x^2-3x+2 на отрезке [2;5]
Илюха отвечает:
Функция y = x³ – 4x² – 3x + 2 непрерывна на всей области определения x∈R.
Первая производная
y’ = (x³ – 4x² – 3x + 2)’ = 3x² – 8x – 3
3x² – 8x – 3 = 0
D = 8² – 4*3*(-3) = 64 + 36 = 100 = 10²
x₁ = (8-10)/6 = -1/3 x₂ = (8+10)/6 = 3
y’ = 3(x +1/3)(x – 3)
+++++++++(-1/3)————-(3)++++++++> y’
max min
x₁ = -1/3 – точка максимума, в интервал [2; 5] не попадает
x₂ = 3 – точка минимума, т.к. y’ меняет знак с ‘-‘ на ‘+’
Для x∈[2; 3] функция y = x³ – 4x² – 3x + 2 убывает
Для x∈[3; 5] функция y = x³ – 4x² – 3x + 2 возрастает
Поэтому наименьшим значением функции на интервале [2; 5] будет значение в точке минимума, на границах значения будут выше.
x = 3; y = x³ – 4x² – 3x + 2 = 27 – 36 – 9 + 2 = -16
Ответ: