Вопрос пользователя:
Найдите все натуральные числа, у которых нечётное число натуральных делителей.
Илюха отвечает:
это квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.
пояснение. каждому делителю d числа n, соотвествует другой делитель n/d
если расположить делители в порядке возрастания
1=d[1]<d[2]<..d[k]<d[k+1]<..<d[l]=n
и так делителю d[1]=1 соовтествет делитель d[l]=n
d[2] делитель d[l-1] и наоборот
так как у числа должно быть нечетное число делителей, то "средний" в списке делителей по возрастанию делитель d равен делителю n/d, но тогда
d=n/d
n=d^2
т.е. иными словами если у числа нечетное число делителй, то оно является квадратом натурального числа