Вопрос от посетителя:
Найдите все значения y, удовлетворяющие условию y > ½ , такие, что неравенство
16y^3+6y^3x-4y^3x^2-50y^2-11y^2x+10y^2x^2+52y+48yx-8yx^2-18+x+2x^2>0
выполняется при всех x из интервала 1 < x < 2y.
Илюха отвечает:
Приводим левую часть к виду канонического квадратного трехчлена относительно х:
Аx^2 – Bx – C мен 0 (группировкой необходимых членов и последующим делением на (-1)), где:
А = 4y^3 – 10y^2 + 8y – 2,
B = 6y^3 – 11y^2 + 48y + 1,
C = 16y^3 -50y^2 + 52y – 18.
Коэффициенты А и С раскладываются на множители:
А = 2(2y-1)(y-1)^2,
C = 2(8y-9)(y-1)^2.
При у = 1 левая часть минимизируется к виду: Вх бол 0.
х бол 0 по условию, коэффициент В также больше 0 ( В(у=0) бол 0 и ф-ия В(у) – монотонно возрастающая – Вштрих бол 0). В(у=1) = 44.
Итак у=1 – первое(тривиальное) решение нашего неравенства (оно выполняется вообще для всех положительных х)
Пусть теперь у не равен 1.
Видим, что при у бол 1/2 коэфф. А больше 0.
Значит на него можно поделить, не меняя знак неравенства.
x^2 – (B/A)x – (8y-9)/(2y-1) мен 0.
Проанализируем: Для того, чтобы решением неравенства был интервал
(1; 2у) необходимо, чтобы левая часть имела корни, и они равнялись бы 1 и 2у.
Произведение корней, равное 2у (бол 0), равно -(8y-9)/(2y-1), то есть очевидно ОДЗ для у: у прин(1/2; 9/8).
Найдем корни: (удобнее находить через произведение корней, т.к. через сумму – громоздкие вычисления).
(9-8у)/(2у-1) = 2у
4y^2 + 6y – 9 = 0 D = 36+144 = 180, входит в ОДЗ только один корень:
у = [(3кор5) – 3] /4.
Ответ: у = 1; у = [(3кор5) – 3] /4