Вопрос от посетителя
Медианы BK и EM треугольника ВСЕ пересекаются в точке О. Докажите что: 1). треугольники КОМ и ВОЕ подобны. 2). площадь МОК : площ.СМК = 1:3
Отвечает Илюха:
1) ВК и ЕМ – медианы. ⇒ ВМ=МС и ВЕ=КС ⇒
МК – средняя линия треугольника ВСЕ. ⇒
МК||ВЕ
∠ЕМЕ=∠МЕВ и ∠МКВ=∠КВЕ как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых МК и ВЕ секущими ВК и МЕ.
МК=ВЕ:2, k=1/2 ⇒
∆ МОК~∆ ВОЕ , ч.т.д.
————-
2) Медианы треугольника делят его на равновеликие треугольники.
Ѕ ∆ ВОЕ=Ѕ ∆ СОВ=Ѕ ∆ СОЕ= Ѕ ∆ ВСЕ:3
Так как МК – средняя линия, ∆ СМК~∆ ВСЕ, и k=1/2
Площади подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента их подобия.
Ѕ ∆ МСК:Ѕ ВСЕ=k²=1/4
Коэффициент подобия ∆ МОК и ∆ ВОЕ=1/2
Ѕ ∆ МОК: Ѕ ∆ ВОЕ=1/4
Так как Ѕ ∆ ВОЕ= Ѕ ∆ ВСЕ:3, то
Ѕ ∆ МОК: Ѕ ∆ ВСЕ:3=Ѕ ∆ ВСЕ/12
Так как Ѕ ∆ МСК=Ѕ ВСЕ/4, то
Ѕ ∆ МОК: Ѕ ∆ СМК=(Ѕ ∆ ВСЕ/12):(Ѕ ∆ ВСЕ/4)=1/3, ч.т.д.