Вопрос от посетителя
Лист бумаги разорвали на 4 части, какие-то из этих частей снова разорвали на 4 части и т.д. Вася насчитал 66 кусков, а петя-67. Кто из них ошибается?объяснить.
Отвечает Илюха:
При каждом разрыве исчезает одна часть (ее ведь разорвали), но вместо нее появляются 4 новых части. Т.е. к предыдущим частям добавилось -1 + 4 = 3 части.
Пусть a[n] – это количество частей после n разрывов. Тогда a[n+1] = a[n] + 3. Это формула для n-го члена арифметической прогрессии (a[n] = a[1] + (n – 1)*d), где a[1] = 1 (в начале был 1 лист) и d = 3.
Итак, a[n] = 1 + (n – 1)*3 = 3*n – 2 (*)
Наша задача свелась к следующим двум вопросам:
1. Существует ли n, при котором a[n] = 66?
2. Существует ли n, при котором a[n] = 67?
Ответим на эти вопросы:
1. a[n] = 3*n – 2 = 66 => n = 68/3 – не целое число => такого n не существует.
2. a[n] = 3*n – 2 = 67 => n = 69/3 = 23 => существует, и n = 23.
Ответ: Ошибается Вася.