Вопрос пользователя:
к окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20 см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9 см.
Илюха отвечает:
Точка С – средина хорды АВ.
МС = 9 МС пересекает окружность в точке Н
Продолжение МС проходит через центр окружности затем пересекает окружность в точке К
НК = диаметр = 2 · 20 = 40 СА = СВ СА^2 = CB^2 = CH · CК МА^2 = МН · МК
МА^2 – CA^2 = МС^2 МН · МК – CH · CК = 9^2 ( уравнение 1 ) МН = МС – СН = 9 – СН МК = МС + НК – СН = 9 + 40 – СН = 49 – СН СК = НК – СН = 40 – СН СН заменим на Х и подставим всё в уравнение 1 ( 9 – Х ) * ( 49 – Х ) – Х * ( 40 – Х ) = 81 441 – 58Х + Х^2 – 40X + X^2 = 81 2X^2 – 98X + 360 = 0 a = 2 , b = -98 , c = 360 D = b^2 – 4 * a * c = ( -98 )^2 – 4 * 2 * 360 = 9604 – 2880 = 6724 корень квадратный D = 82 X1 = ( -b + к.к.D ) / (2*a) = ( 98 + 82 ) / (2*2) = 45 ( не подходит так как СН меньше МС значит СН меньше 9 ) Х2 = ( -b – к.к.D ) / (2*a) = ( 98 – 82 ) / (2*2) = 4 CH = X = 4 CК = НК – СН = 40 – 4 = 36 СА = кор.кв.( СН * СК ) = кор.кв ( 4 * 36 ) = кор.кв 144 = 12 Хорда АВ = СА * 2 = 12 * 2 = 24