Вопрос от посетителя
К окружности проведена касательная.Докажите,что сумма расстояний от концов любого диаметра до этой касательной равна диаметру этой окружности.
Отвечает Илюха:
Пусть Центр окружности О, диаметр АВ, С – точка касания прямой А1В1, ВВ1 перпендикулярно А1В1, АА1 II BB1 (само собой, и СО II BB1). Строим СЕ перпендикулярно АВ и продливаем до пересечения с окружностью в точке К. Ясно, что дуга СВ равна дуге ВК, поэтому углы ВСЕ и В1СВ равны – они измеряются половиной равных дуг. Поэтому прямоугольные треугольники СВ1В и СЕВ равны ,и В1В = ЕВ.
Далее, отсюда же следует, что СВ1 = СЕ, но СВ1 = СА1 (не зря я про параллельность СО, АА1 и ВВ1 упоминал :)) поэтому ТОЧКА А РАВНОУДАЛЕНА ОТ СЕ и СА1. То есть она лежит на биссектрисе угла А1СЕ, и СЕ = А1С :)) (элегантно 🙂 я доказал равенство углов А1СА и АСЕ, не рассматривая какие-то дуги, а просто воспользовался определением биссектрисы… хотя, конечно, дуги АС и АК равны).
Итак, АА1 = АЕ, ВЕ = ВВ1.
Ну, если это сложить, получится то, что требуется в задаче.
Если отобразить А1В1ВА симметрично относительно А1В1, то получится равнобедренная трапеция, у которой ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ лежит в точке С.