Вопрос от посетителя
К двум непересекающимися окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания
Отвечает Илюха:
Обозначения. Для внешних касательных точки касания А и В (“сверху”), А1 и В1 (“снизу”), внутренняя касательная пересекает внешние в точках К (c прямой АВ) и K1 (с прямой А1В1). С – “верхняя” точка касания внутренней касательной, С1 – “нижняя”.
Получается вот что – одной окружности (ну, пусть слева на чертеже) касательные касаются в точках А, А1(это внешние) и С1 (это – внутренняя, как бы ниже линии центров), а другой (которая справа) – в точках В, В1(внешние) и С (внутренняя, выше линии центров). Точка К1 лежит ниже линии центров (и “слева”), и К1А1 = К1С1; точка К лежит выше линии центров (и “справа”), КВ = КС.
СС1 = КС1 – КС = КА – КС = АВ – КВ – КС = АВ – 2*КС.
СС1 = К1С – К1С1 = К1В1 – К1С1 = А1В1 – К1С1 – А1К1 = А1В1 – 2*К1С1;
Но АВ = А1В1, поэтому К1С1 = КС;
АВ = КС1 + КВ = КК1 – К1С1 + КС = КК1, ч.т.д.