Вопрос от посетителя:
Исследовать функцию и построить её график: 1) у=х^4-2*x^2-3 2) y=-x*e^x
Илюха отвечает:
a) y=x^4-2x^2-3
1) Функция определена на всей числовой прямой
2)Функция четная, так как f(x)=f(-x)
3) Функция не периодична
4) Находим f ‘(x)
f ‘(x)=4x^3-4x=0
x^3-x=0
x(x^2-1)=0
Критические точки: x=-1; x=0; x=1
5) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: ]-бескон.;-1[ , ]-1; 0[, ]0; 1[, ]1;+бескон.[
Откуда, имеем что функция убывает на ]-бескон.;-1[ и ]0;1, Функция возростает на ]-1;0[ и ]1;+бескон.[
6) Находим вторую производную
f ” (x)=12x^2-4
7) Определяем знак второй производной в критической точке
f”(-1)>0
f ” (1)>0
то есть точки x=-1 и x=1 – точки минимума
8) f”(x)=0
12x^2-4=0
3x^2-1=0
x=±1/sqrt(3) – точки перегиба
б) y=xe^x
1) Функция определена на всей числовой прямой
2)Функция не четная
3) Функция не периодична
4) Находим f ‘(x)
f'(x)=e^x+x*e^x
f'(x)=0
e^x+x^e^x=0
e^x(1+x)=0
Критическая точка: x=-1
5) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: ]-бескон.;-1[ , ]-1; +бескон.[
Откуда, имеем что функция убывает на ]-бескон.;-1[
Функция возростает ]-1;+бескон.[
6) Находим вторую производную
f”(x)=e^x+e^x+xe^x=2e^x+xe^x=e^x(2+x)
7) Определяем знак второй производной в критической точке
f”(-1)>0
то есть точки x=-1 – точка минимума
8) f”(x)=0
e^x(2+x)=0 =>x=-2 – точка перегиба