Вопрос от посетителя
из точки на основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. они разбивают треугольник на параллелограм и два треугольника с площадями S₁ и S₂. найдите площадь параллелограмма. помогите пожалуйста, завтра сдавать)
Отвечает Илюха:
пусть точка на стороне АС = с (не важно, как обозначить, это не понадобится в решении) отсекает отрезок АМ = x*c. Тогда второй отрезок (1 – х)*с.
х, конечно, неизвестно.
Но.
Треугольники, отсеченные параллельными прямыми, подобны исходному. Это одначает, что у первого треугольника все стороны отностятся к сторонам исходного тр-ка, как х, а площади их отностятся, как х^2, то есть
S1 = S*x^2;
S – площадь треугольника, тоже неизвестная, как и х.
(Если вы не знаете, как относятся площади подобных фигур, если задано отношение сторон, дело плохо :((()
Для второго треугольника, тоже подобного исходному, аналогичное выражение
S2 = S*(1 – x)^2;
Делим второе соотношение на первое, и получаем уравнение для х
(1 – х)^2/x^2 = S2/S1;
Извлекаем корень и решаем отностиельно х, получаем
x = корень(S1)/(корень(S2) + корень(S1));
Подставляем опять в первое соотношение, получаем S
S = S1/x^2 = (корень(S2) + корень(S1))^2 = S1 + S2 + 2*(корень(S2*S1));
Площадь параллелограмма равна S – S1 – S2, поэтому ответ
2*(корень(S2*S1)). Удвоенное среднее геометрическое.