Вопрос от посетителя:
Из двух различных пунктов одновременно в направлении пункта N отправляются два судна A и B и движутся равномерно и прямолинейно. В момент отправления, треугольник ABN равносторонний. После того, как первое судно прошло 80 км, треугольник ABN стал прямоугольным. В момент прибытия первого судна в пункт назначения второму остается пройти 120 км. Найдите расстояние между пунктами отправления судов.
Илюха отвечает:
Итак ANB – равносторонний. S = AB = AN = BN . Из А вышло первое судно, из В – второе. Поставим на АN точку C, а на BN – точку D так, что DC перпендикулярно AN. (точка С будет выше по уровню точки D, так как первое судно, очевидно, движется быстрее). Из прямоугольного треугольника CND: ND = NС/cos60 = 2NC (1)
Геометрическая подготовка проведена.
Пусть v1 – скорость 1 судна, v2 – скорость 2-го.
Отрезок АС 1 судно проплывет за время: 80/v1.
За это время 2 судно проплывет: BD = v2*(80/v1) = 80*(v2/v1)
Значит ND = S – 80*(v2/v1) и, конечно, NC = S – 80 (2)
Подставив выражения (2) в (1), получим первое уравнение системы:
2(S-80) = S – 80*(v2/v1) (3)
Теперь составим 2 уравнение. 1 судно проплыло путь S за время: S/v1.
2 судно за это время проплыло: S*(v2/v1) и оказалось в 120 км от N.
S – S(v2/v1) = 120 (4)
(3) и (4) составляют систему 2-х уравнений с 2-мя неизвестными: S и (v2/v1). Из уравнения (4) выразим отношение скоростей:
(v2/v1) = 1- (120/S) и подставим в (3):
S = 160 – 80(1 – (120/S))
S = 80 + (9600/S)
S^2 – 80S – 9600 = 0 D = 6400 + 38400 = 44800, корD = 40кор28
S = 40 + 20кор28 ( примерно 145,83 км)
Ответ: S = 40 + 20кор28 ( примерно 145,83 км)