Вопрос от посетителя
Если можно,с рисунком :]
1) Основанием пирамиды является квадрат,одно из боковых ребер перепендикулярно плоскости основания.Плоскость боковой грани,не проходящей через высоту пирамиды,наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.
Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Выcота правильной треугольной пирамиды равна h,а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусам.Найдите площадь поверхности пирамиды.
Отвечает Илюха:
а)
1) Работаем по рис.
Выясним,как расположена высота пирамиды. По определению: высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания.Таким образом, согласно условия задачи, высотой является боковое ребро, перпендикулярное плоскости основания, т.е. FB :
т.к. FB ⊥ (ABC), то FB – высота пирамиды.(1-я цель!!!)
2) Из ΔBCF- прям.: ∠BCF=∠BFC = 45⁰ , значит Δ BCF -равнобедр. и ВС = FB
(!!! Из условия двугранный угол ВСDF (угол между гранями ) равен 45⁰, а его линейным углом является ∠BCF , т.к. ВС ⊥ CD (квадрат)
FC ⊥ CD ( теорема о 3-х перпенд.)).
Тогда FC= FB·√2 (!!! в равноб. прям. тр-ке гипотенуза в √2 раз больше катета)
3)!!!Из четырёх боковых рёбер наибольшим является FD, т.к. является по “совместительству” гипотенузой ΔAFD.Боковая поверхность пирамиды составлена из 4-х прямоугольных тр-ка , причём ΔBCF= ΔBАF ( по двум катетам),
ΔDCF= ΔADF ( по катету и гипотенузе) .
Значит, FD= 12.
4) Из Δ FDC- прям.: FC² +CD²=FD²
Пусть СD=BC=FB= x, тогда ( x√2)²+x²=12²
2x²+x²=144
3x²=144
x²=48
x=√48=4√3(cм)
FC= 4√3 cм = высота.
б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней, а о том , что представляют собой грани сказано выше. Стоит отметить , что равные фигуры имеют равные площади, тогда
S =2·S abf + 2·S cdf = 2·( ½·AB·BF+½·CD·CF)= 4√3·4√3 +4√3·4√6= 48 +16√18=
= 48 +48√2 =48·(1+√2) cм².