Вопрос от посетителя:
Доказать -1<хy+yz+zt+tx<0, если x + y + z + t = 0 и x2 + y2+ z2 + t2 = 1(”x2,y2,z2,t2” обозначает x,y,z,t в квадрате)
Илюха отвечает:
xz+yt<=1/2*(x^2+z^2)+1/2*(y^2+t^2)=1/2*(x^2+y^2+z^2+t^2)=1/2*1=1/2
(x+z)^2+(y+t)^2>=0
(x^2+z^2+2xz)+(y^2+2yt+t^2)>=0
x^2+y^2+z^2+t^2+2(xz+yt)>=0
xz+yt>=-1/2
-1/2<=xz+yt<=1/2
x + y + z + t = 0
(x+y+z+t)^2=0
x^2+y^2+z^2+t^2+2(xy+yz+zt+tx+xz+yt)=0
2(хy+yz+zt+tx)=-(x^2+y^2+z^2+t^2)-2(xz+yt)
2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)
2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)<=-1+2*1/2=-1+1=0
хy+yz+zt+tx<=0
2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)>=-1+2*(-1/2)=-1-1=-2
хy+yz+zt+tx>=-1
заметим что равенство 0 достигается например при x=y=0.5, z=t=-0.5
равенство 1 достигается например при x=z=0.5, y=t=-0.5