Вопрос пользователя:
Доказать что если прямые параллельны то внутренние накрест лежащие углы равны
Илюха отвечает:
ну, я вижу, с параллельностью не все гладко
1. важнее всего доказать, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. То есть обратную теорему. Это делается от противного. А имено, предполагается, что две прямые АС и BD пересекают третью прямую в точках А и C, и при этом НЕ параллельны. То есть где то пересекаются, пусть в точке О. Образуется треугольник АСО. Можно построить равный ему треугольник АСО1, так, что вершина О1 лежит в другой, нежели точка O, полуплоскости. Из равенства этих треугольников следует, что угол ОАС = угол О1СА; угол О1АС = угол ОСА; и по условию угол ОАС = угол АСD. Получается, О, С и О1 лежат на одной прямой, поскольку СО1 является продолжением ОС. Но точно так же можно показать, что и точки О, А и О1 лежат на одной прямой. Получилось, что через две точки (точки О и О1) мы провели две разных прямых (одна проходит через А, другая – через С), а это противоречит аксиоме геометрии. Это доказывает, что ЕСЛИ внутренние накрест лежащие углы равны, ТО прямые параллельны.
Отсюда следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
2. Обратное утверждение, заданное в задаче, доказывается с использованием теоремы пункта 1.
Если две прямые параллельны, а внутренние накрест лежащие углы НЕ равны (предположим, что это так), то через точку пересечения первой прямой с секущей проведем прямую так, чтобы внутренний накрест лежащий угол был равен с углом, образованным второй прямой.
Но из пункта 1. мы знаем, что построенная прямая параллельна второй прямой. То есть получилось, что через одну точку проходят две прямые, параллельные одной прямой. Противоречие, которое доказывает утверждение задачи.