Вопрос от посетителя
Доказать утверждение методом математической индукции: (n*(2*n^2-3*n+1)) кратно 6 для всех натуральных n.
Отвечает Илюха:
База индукции
При n=1
1*(2*1^2-3*1+1)=0 делится на 6 нацело (кратно 6)
Гипотеза индукции
Пусть при n=k утверждение верно
т.е.
k*(2*k^2-3*k+1) кратно 6.
Шаг индукции. Докажем, что тогда при n=k+1 утверждение тоже верно.
n*(2*n^2-3*n+1)=(k+1)*(2(k+1)^2-3*(k+1)+1)=(k+1)(2k^2+4k+2-3k-3+1)=
=(k+1)(2k^2-3k+1 + 4k-1)=(k+1)(2k^2-3k+1) +(k+1)(4k-1)=k(2k^2-3k+1)+2k^2-3k+1+4k^2-k+4k-1=k(2k^2-3k+1)+6k^2, что делится на 6 нацело, первое слагаемое по гипотезе индукции, второе так как в произведение входит множитель 6 кратный 6
По принципу математической индукции данное утверждение верно для любого натурального n. Доказано