доказать справедливость неравенств |a+b| меньше либо равно |a|+|b|

Вопрос пользователя:

Можно скажем возвести в квадрат, тогда получим

Применяя это свойство модуля $|x|^2 = x^2$

$(a+b)^2 leq (|a| + |b|)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 leq a^2 + 2|a||b| + b^2$

После приведения подобных останется

ab ≤ |a||b|

Произведение |a||b| всегда положительно при любых a и b

А произведение ab может быть как положительным (к примеру a>0, b>0 или a<0, b<0), так и отрицательным (a>0, b<0 или a<0, b>0)

В итоге, что и требовалось доказать |a+b|≤ |a|+|b|.