Вопрос пользователя:
Докажите что середины сторон ромба являются вершинами прямогольника
Илюха отвечает:
Рассмотрим ромб см.рис
В ромбе противоположные улы равны. Значит треугольники b-d и a-c равны соответственно. Отсюда противоположные стороны вписаного четырехугольника равны.
Эти треугольники ( b-d и a-c) равнобедренные. Следовательно углы при катетах равны.
Теперь докажем что сумма углов c и d равна 90 град.
Сумма углов ромба 2a+2b=360градусов или a+b=180
сумма углов в треугольнике b+2d=180 град и a+2c= 180град
выразим из последнего углы a и b
a=180-2c
b=180-2d
Подставим в первое уравнение
(180-2c)+(180-2d)=180
360-2c-2d=180
360-180=2(c+d)
180/2=c+d
c+d=90
Т.к развернутый угол равен 180 град, то оставшийся угол в четырехугольнике равен 180-(с+d)=90 град.
Значит вписан – прямоугольник.