Вопрос от посетителя
Докажите, что если два числа и сумма их корней – числа рациональные, то корень каждого из этих чисел – также число рациональные
Отвечает Илюха:
Пусть x = r1, y = r2, x^1/2 + y^1/2 = r3 – заданные в условии рациональные числа.
Тогда
x – y = (x^1/2 – y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) – по формуле разложения для разности квадратов. Поскольку x – y = r1 – r2 = r4 – разность двух рациональных чисел есть число рациональное, и x^1/2 + y^1/2 = r3 – рациональное число (по условию), то x^1/2 – y^1/2 = r4/r3 = r5 – частное двух рациональных чисел есть также число рациональное.
Итак,
x^1/2 – y^1/2 = r5 – рациональное число (1)
x^1/2 + y^1/2 = r3 – рациональное число (по условию) (2)
Слкладывая обе части уравнений (1) и (2) получим, что х^1/2 = (r3 + r5)/2 – рациональное число (как сумма и частное рациональных чисел).
Аналогично, вычтя обе части уравнения (2) из обеих частей уравнения (1) получим, что y^1/2 = (r3 – r5)/2 – рациональное число (как разность и частное рациональных чисел).
Таким образом мы доказали, что числа х^1/2 и y^1/2 являются рациональными.