Вопрос от посетителя:
Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним.
Решение с чертежом
Илюха отвечает:
Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О – точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С – х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а.
Найдем углы 4-угольника МОКС:
По свойству внешнего угла тр-ка:
ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК)
ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК)
МОК = 180-а (смежный с углом а)
Еще пригодится соотношение между углами А и В и а:
а = А/2 + В/2 (внешний к тр. АОВ) (1)
Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 – х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 – (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:
360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х
180 – а – (А+В)/2 = 180 – х
И с учетом (1) получим:
-2а = -х
х = 2а, что и требовалось доказать
P.S.Если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.