докажите методом математической индукции >

Вопрос от посетителя:

докажите методом математической индукции ><

2+18+60+…+n(n+1)(2n-1)=1/6n(n+1)(n+2)(3n-1)

доказательство

база индукции n=1

2+18+60+…+n(n+1)(2n-1)=2=2

1/6n(n+1)(n+2)(3n-1) =

1/6*1*(1+1)*(1+2)*(3*1-1)=2

утверждение справедливо.

Предположение индукции.

Пусть для n=k>=1

выполняется данное утверждение, т.е.

2+18+60+…+k(k+1)(2k-1)=1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)

Индукционный переход. Докажем, что тогда оно выполняется и для

n=k+1:

2+18+60+…+k(k+1)(2k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=используем предположение=

1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=выносим общие множители=

1/6(k+1)(k+2)*(k(3k-1)+6(2k+1))= преобразуем к нужному виду=

1/6(k+1)(k+2)*(3k^2-k+12k+6)=

=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+11k+6)=

=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+2k+9k+6)=

=1/6(k+1)(k+2)*(k(3k+2)+3(3k+2))=

1/6(k+1)(k+2)*(k+3)(3k+2)=

=1/6(k+1)(k+1+1)*(k+1+2)*(3(k+1)-1)

доказано.

по ММИ данное утверждение справделивого для любого натурального n