Вопрос пользователя:
длины катетов прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см.вычислите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан этого треугольника.
Илюха отвечает:
Решение основано на свойствах точки пересечения медиан и биссектрис и подобии треугольников.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒
АЕ=2/3 медианы из вершины А.
Проведем через Е прямую параллельно СВ.
К – точка ее пересечения с АС.
Треугольники АКЕ и АСМ подобны – прямоугольные с общим углом А.
Из подобия следует, что КЕ делит АС в отношении АЕ:ЕМ, т.е. 2:1⇒
АК=8, КС=4
КЕ:СМ=АК:АС
КЕ:(9:2)=8:12
КЕ=36:12=3
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле:
r=(a+b-c):2
Треугольник АВС – египетский ( отношение катетов 3:4) ⇒
АВ=15 ( ту же длину гипотенузы АВ получим по т.Пифагора)
r=(12+9-15):2=3
Расстояние от любой точки биссектрисы треугольника до его сторон одинаково.
Расстояние от О до катетов равно r=3 ⇒
ТО=СН=ОН=3
Но КЕ=3 (см. выше)
Четырехугольник СКЕН – прямоугольник
ЕН=КС=4
ОЕ=ЕН-ОН=4-3=1 см