Вопрос от посетителя
Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29.Длина медианы,проведенной к третьей стороне равна 26.Найдите высоту треугольника,проведенную к стороне длиной 27.
Отвечает Илюха:
Пусть данный треугольник будет АВС, ВН – искомая высота.
Для медианы треугольника есть формула:
М=1/2*(√2а²+2b²-c²), где М – медиана, а,b и с – стороны треугольника.
Формула выведена из равенства суммы квадратов диагоналей параллелограмма и квадратов всех сторон: d²+D²=2(a²+b²)
Для решения можно достроить треугольник до параллелограмма и решать через это равенство.
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
М²=1/4*(2а²+2b²-c²)
4М²=(2а²+2b²-c²)
Подставив известные значения, получим
2704=3140-с²
с²=436
Выразим из ∆ АВС квадрат высоты ВН:
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=ВС²-НС²
приравняем оба выражения:
АВ²-АН² =ВС²-НС²
НС=АС-АН
436-АН²=841-729+54 АН- АН² ,
откуда
54 АН=324⇒
АН=6
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=436-36=400 ВН=√400=20 (ед. длины)