Вопрос от посетителя:
диагонали трапеции авсд пересекаются в точке О.вычислите площадь трапеции, если известно, что од:ов=3, а площадь треугольника осд равна 9.
Илюха отвечает:
Обозначим площадь трапеции как S.
S=(AB+CD)*h/2, где h-высота трапеции.
Обозначим высоты треугольников OAB и OCD, проведенные из точки O, как h1 и h2 соответственно. Отметим, что h=h1+h2. Тогда
S= (AB+CD)*(h1+h2)/2
Отметим, что треугольники OAB и OCD подобные из-за равенства соответствующих накрест лежащих углов. Из подобия треугольников и из условия OD/OB=3 вытекает, что CD/AB=3, а также h2/h1=3.
AB=CD/3, h1=h2/3. Подставляем полученное в формулу площади трапеции:
S=(CD/3+CD)*(h2/3+h2)/2
S=4/3*CD*4/3*h2/2 S=16/9*(CD*h2/2), CD*h2/2 – это площадь треугольника OCD, поэтому S=16/9*9=16. Ответ 16.