Вопрос от посетителя
Две стороны остроугольного треугольника равны 13см и 15см, а высота, проведенная к третьей стороне, – 12см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.(желательно с объяснением)
Отвечает Илюха:
Обяснение такое. Высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. В одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (Пифагорова тройка 5,12,13). В другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). Можно, конечно, тупо сосчитать по теореме Пифагора, но результат будет тот же :))).
Итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. Причем мы знаем высоту к этой стороне. Поэтому площадь треугольника
S = (1/2)*14*12 = 84.
Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42. S = P*r/2, где r – радиус вписанной окружности.
r = 2*84/42 = 4;
Радиус описанной окружности находится так.
Пусть угол между сторонами 14 и 15 – это А, тогда
sin(A) = 12/15, и S = (1/2)*14*15*sin(A);
Но по теореме синусов 2*R*sin(A) = 13; Отсюда получаем
R = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125;