Вопрос пользователя:
Два тела, находясь на расстояние 600м, начали двигаться навстречу друг другу. Первое проходит 9 метром в секунду. Второе в первую секунду прошло 3 метра, а в каждую следующую секунду проходит на 4 метра больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд два тела встретятся?
Илюха отвечает:
Пусть V – скорость первого тела, пусть a(1) – расстояние проходимое вторым телом за 1 секунду. По условию V=9 м/с, a(1)=3 м
Расстояния, проходимые вторым телом за одну секунду, составляют арифметическую прогрессию с первым членом a(1) и разностью d=4. Тогда по фомуле общего члена арифметической прогрессии имеем :
a(n)=a(1)+d*(n-1)=3+4*(n-1)——–(1)
Найдем расстояние S, проходимое вторым телом за n секунд. Очевидно, что S равно сумме S(n) n первых членов прогрессии a(n):
S= S(n)=[a(1)+a(n)]*n/2——(2)
Подставляя в (2) вместо a(n) выражение (1) и учитывая, что a(1)=3 м, получим:
S=[6+4*(n-1)]*n/2 =3n+2*n*(n-1)=2(n^2) + n——–(3)
Найдем значение n, при котором сумма расстояний AC и BC равна AB (см. рис.):
A———C————B
где A, B – пункты отправления первого и второго тел соответственно
C – пункт встречи тел
Итак, AC=V*n=9n, BC=S=2(n^2) + n
Тогда AB=BC+AC=2(n^2) + n + 9n=600, поскольку AB=600 м по условию
или 2(n^2) + 10n – 600=0, разделим обе части на два, получим:
(n^2) + 5n – 300=0 ——(4)
(4) – квадратное уравнение относительно n
Найдем его дискриминант D=25+4*300=25*(1+12*4)=25*49=(35)^2
Поскольку дискриминант положительный, то уравнение (4) имеет два различных действительных корня, найдем их:
n1=(-5+35)/2 = 15 с
n2=(-5-35)/2 = -20 не имеет смысла, т.к. n >0
Итак, тела встретятся через n=n1=15 с
Ответ: n=15 c