Два моля идеального одноатомного  газа сначала изобарно  нагрели, а затем изохорно охладили до первоначальной температуры как показано на рис. 1. Какое количество теплоты сообщено газу при нагревании? Начальная температура газа Т=400 К, давление газа при охлаждении уменьшилось в три раза.

от

Вопрос пользователя:

Два моля идеального одноатомного  газа сначала изобарно  нагрели, а затем изохорно охладили до первоначальной температуры как показано на рис. 1. Какое количество теплоты сообщено газу при нагревании? Начальная температура газа Т=400 К, давление газа при охлаждении уменьшилось в три раза.

Илюха отвечает:

Дано: T_{1}=400 K

          P_{1}=P_{2}

          P_{1}=3P_{3}   

          nu=2 моль 

 Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

 

Решение. Газ получает количество теплоты Q на участке 12, т.к. при этом газ совершает работу A над внешними телами а его внутренняя энергия увеличивается на величину Delta U. Воспользуемся первым началом термодинамики:

   

        Q=A+Delta U——-(1)

Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то ее изменение на участке 12 равно:

      Delta U=frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})——-(2)

 

При этом работа газа равна:

            A=P_{1}*(V_{2}-V_{1})——-(3)

Из уравнения состояния идеального газа при изобарном процессе следует:

      P_{1}*(V_{2}-V_{1})=nu*R*(T_{2}-T_{1})—–(4) 

Подставим в равенство (3) вместо его правой части правую часть уравнения (4), получим:

            nu*R*(T_{2}-T_{1})” title=”A=nu*R*(T_{2}-T_{1})” alt=”A=nu*R*(T_{2}-T_{1})” />——–(5)   

Подставим в (1) вместо A и Delta U соотвественно правые части выражений (5) и (2), получим:

        nu*R*(T_{2}-T_{1})+frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” title=”Q=nu*R*(T_{2}-T_{1})+frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” alt=”Q=nu*R*(T_{2}-T_{1})+frac{3}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” />, приведя подобные в правой части последнего равенства, получим

         frac{5}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*(T_{2}-T_{1})” />——(6)

 

Процесс 12 подчиняется закону Гей-Люссака, поэтому

frac{T_{1}}{V_{1}}” title=”frac{T_{2}}{V_{2}}=frac{T_{1}}{V_{1}}” alt=”frac{T_{2}}{V_{2}}=frac{T_{1}}{V_{1}}” />, отсюда выразим T_{2} 

      frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}[/tex]——(7)

 

     Подставим в (6) вместо T_{2}” title=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” title=”T_{2}” title=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” alt=”T_{2}” title=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” />——(7)

 

     Подставим в (6) вместо T_{2}” alt=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” title=”T_{2}” alt=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” alt=”T_{2}” alt=”T_{2}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” />——(7)

 

     Подставим в (6) вместо T_{2}” /> выражение (7), получим:

         frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” />, или

       

            frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” />—–(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        frac{P_{3}}{T_{3}}” title=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” alt=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” />——-(9) 

но по условию T_{1}” title=”T_{2}” /> выражение (7), получим:

         frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” />, или

       

            frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” />—–(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        frac{P_{3}}{T_{3}}” title=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” alt=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” />——-(9) 

но по условию T_{1}” alt=”T_{2}” /> выражение (7), получим:

         frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*(frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})” />, или

       

            frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(frac{V_{2}}{V_{1}}-1)” />—–(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        frac{P_{3}}{T_{3}}” title=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” alt=”frac{P_{2}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{3}}” />——-(9) 

но по условию T_{1}” />, P_{2}=P_{1]” title=”T_{3}=T_{1}” title=”P_{2}=P_{1]” title=”T_{3}=T_{1}” alt=”P_{2}=P_{1]” title=”T_{3}=T_{1}” />, P_{2}=P_{1]” alt=”T_{3}=T_{1}” title=”P_{2}=P_{1]” alt=”T_{3}=T_{1}” alt=”P_{2}=P_{1]” alt=”T_{3}=T_{1}” />, P_{1}=3P_{3}P_{2}=P_{1]” />,    Тогда (9) примет вид:

       frac{P_{3}}{T_{1}}” title=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” alt=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” />, отсюда

       

            3T_{1}” title=”T_{2}=3T_{1}” alt=”T_{2}=3T_{1}” />———(10)

Подставим в (7) вместо T_{2} выражение (10), получим 

      3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” title=”P_{1}=3P_{3}P_{2}=P_{1]” />,    Тогда (9) примет вид:

       frac{P_{3}}{T_{1}}” title=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” alt=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” />, отсюда

       

            3T_{1}” title=”T_{2}=3T_{1}” alt=”T_{2}=3T_{1}” />———(10)

Подставим в (7) вместо T_{2} выражение (10), получим 

      3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” alt=”P_{1}=3P_{3}P_{2}=P_{1]” />,    Тогда (9) примет вид:

       frac{P_{3}}{T_{1}}” title=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” alt=”frac{3P_{3}}{T_{2}}=frac{P_{3}}{T_{1}}” />, отсюда

       

            3T_{1}” title=”T_{2}=3T_{1}” alt=”T_{2}=3T_{1}” />———(10)

Подставим в (7) вместо T_{2} выражение (10), получим 

      3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” />, отсюда

         V_{1}}=3″ title=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ />——–(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби V_{1}}” title=”frac{V_{2}}{V_{1}}” alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}” /> ее значение (выражение (11)), получим

         Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” title=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” title=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” title=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” />, отсюда

         V_{1}}=3″ title=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ />——–(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби V_{1}}” title=”frac{V_{2}}{V_{1}}” alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}” /> ее значение (выражение (11)), получим

         Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” alt=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” title=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” alt=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” alt=”Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” alt=”3T_{1}=frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}” />, отсюда

         V_{1}}=3″ title=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}=3″ />——–(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби V_{1}}” title=”frac{V_{2}}{V_{1}}” alt=”frac{V_{2}}{V_{1}}” /> ее значение (выражение (11)), получим

         [tex]Q=frac{5}{2}nu*R*T_{1}(3-1)=5*nu*R*T_{1}” />

Расчет:

            =5*nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256″ title=”Q=5*nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256″ alt=”Q=5*nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256″ /> Дж

Добавить свой ответ