Вопрос от посетителя:
Дан треугольник ABC, в котором AB=5, ra_rc=3:2, ra_r=11:4. Около треугольника описана окружность и проведена биссектриса угла B, которая пересекает эту окружность в точке D. Найдите: а) AD’ б) S(ABCD)
если продолжить стороны треугольника то внешне рисуем окружность которая касается стороны и продолжений сторон Оа это центр окружности касающийся сторона a, Ос соответственно со стороной с так же и в другой задаче с радиусами
Илюха отвечает:
Рисунок отправил по почте.
Я так понял, что в а) надо найти AD, а не AD’. Про точку D’ вообще в условии ничего не сказано.
AD = CD . хорды стягивают одинаковые дуги (В/2). Тр. ACD – равнобедренный. Его площадь:
[AD^2*sin(П-B)]/2 = [AD^2*sinB]/2
Площадь АВС:
(5ВСsinB)/2
S(ABCD) = (1/2)*sinB*(AD^2 + 5BC)
Итак стратегия понятна:
Помимо AD надо найти ВС и sinB для полного решения.
Попробуем решить треугольник АВС:
Найдем маленькие отрезки AF и СЕ:
AF = (rc)/tg(BAF/2) = (rc)/tg(П/2 – A/2) = (rc)*tg(A/2) = 11r*tg(A/2) /6
CE = 11rtg(C/2) /4
Выразим и сторону b треуг. АВС через r и углы А/2 и С/2:
b = r(ctg(A/2) + ctg(C/2))
Теперь из тр-ов AOaE и COcF напишем систему двух уравнений:
(b + (ra)tg(C/2))tg(A/2) = (ra)
(b + (rc)tg(A/2))tg(C/2) = (rc)
где (ra) = 11r/4, (rc) = 11r/6
После упрощений и деления одного ур-ия на другое, получим соотношение между углами:
tg(A/2) / tg(C/2) = 3/2
И в дальнейшем, выражая один тангенс через другой получим:
tg(A/2) = кор(3/22)
tg(C/2) = кор(2/33)
Находим и другие нужные нам ф-ии:
sinA = (2кор66)/25
sinC = (2кор66)/35
Видим, что синусы относятся как 7:5. Значит сторона а = ВС = 7
Теперь можно найти и sin(B/2), sin(C/2), sinB
Далее по т. синусов из тр. ADB найдем AD:
AD= (5sin(B/2))/sinC = 5кор(35/11) = 8,9
А теперь и площадь ABCD:
S(ABCD) = (1/2)*(35 + 8,9^2)sinB = (1/2)*(35 + 79,2)*0,93 = 53
Ответ: а) AD = 8,9.
б) S(ABCD) = 53