Вопрос от посетителя:
Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. Точка О лежит на большей стороне тр-ка и является центром окружности, касающейся двух других сторон, Найдите радиус окружности.Срочно плиззз
Илюха отвечает:
Достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.
Тока О лежит на гипотенузе.
Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).
Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z.
Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:
(5-x)^2 + x^2 = y^2 – по теореме Пифагора
(12-x)^2 + x^2 = z^2 – по теоерме Пифагора
y+z = 13 – так как y и z вместе дают гипотенузу
Решим полученную систему уравнений:
1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение:
(5-x)^2 + x^2 = y^2
(12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2
2) раскроем скобки и приведём подобные:
25 – 10x + 2x^2 = y^2
– 24x + 2x^2 = 25 – 26y + y^2
3) вычтем второе уравнение из первого и приведём подобные:
25 + 14x = 26y – 25
4) Выражаем y:
50 + 14x = 26y
y = (50 + 14x)/26
5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 – 10x + 2x^2 = y^2:
25 – 10x + 2x^2 = ((50 + 14x)/26)^2
25 – 10x + 2x^2 = (50 + 14x)^2 / 676
16900 – 6760x + 1352x^2 = (50 + 14x)^2 = 2500 + 1400x + 196x^2
1156x^2 – 8160x + 14400 = 0
289x^2 – 2040x + 3600 = 0
(17x)^2 – 2*17*60x + 60^2 = 0
(17x – 60)^2 = 0
17x – 60 = 0
x = 60/17
Ответ: 60/17