Вопрос от посетителя:
Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ BD равна 5, а синус тупого угла ADB равен 4/5.Найдите площадь параллелограмма, если сторона CD равна корень из 41.
Илюха отвечает:
Согласно теореме синусов для треугольника ABD
sin ADB sin BAD
———- = ———–
AB BD
В данном случае
4 / 5 sin BAD
———- = ———- , откуда sin BAD = 4 / √41
√ 41 5
Угол ADB – тупой, угол BAD – острый, поэтому
cos ADB = – √(1 – (4/5)²) = -3/5
cos BAD = √(1 – (4/√41)²) = 5/√41
sin ABD = sin(ADB + BAD) = sin ADB * cos BAD + cos ADB * sin BAD =
= 4/5 * 5/√41 + (-3/5) * 4/√41 = (20 – 12) / (5 * √41) = 8 / (5 * √41)
Площади треугольников ABD и CBD равны, поэтому площадь
параллелограмма ABCD
S = AB * BD * sin ABD = 5 * √41 * (8 / (5 * √41)) = 8