Вопрос от посетителя:
Дан параллелограмм ABCD, в котором AB=4, AD=6, BD=5. В вершинах этого параллелограмма помещены массы: 3А, 5В, 1С, 5D. Пусть Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D; Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D; Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D.
Найдите:
а)Z1Z2
б)Z1Z
Илюха отвечает:
Решение: Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D
точка О – точка пересечения диагоналей паралелограмма – центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
Значит
Z1-центр тяжести 3A, 10O
AZ1 :Z1O=10:3
AZ1 :AO=10:13
OZ1:AO=3:13
AZ1:AC=10:26=5:13
причем точка Z1 лежит на отрезке OA
Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D
точка О – точка пересечения диагоналей паралелограмма – центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
Значит
Z1-центр тяжести 1C, 10O
CZ2 :Z2O=10:1
CZ2 :CO=10:11
CZ2:AC=10:22=5:11
причем точка Z2 лежит на отрезке OC
Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D
точка О – точка пересечения диагоналей паралелограмма – центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
точка K – центр масс точек 1C,3A, она дежит на отрезке АС, причем
АК:КС=1:3
АК:АС=1:4
точка Z – центр тяжести 4K, 10O
ZK:ZO=10:4=5:2
ZK:KO=5:7
ZK:AO=5:14
OZ:AO=9:14
ZK:AC=5:28
AZ:AO=12/14=6/7
OZ:AO=1/7
По теореме косинусов
cos (ABD)=(-AD^2+AB^2+BD^2)/(2*AB*BD)
cos (ABD)=(-6^2+5^2+4^2)/(2*4*5)=5/40=1/8
АО^2=(AB^2+BO^2-2AB*BO*cos(ABD))=
=(4^2+2.5^2-2*4*2.5*1/8)=19.75
AC=2AO=2*1/2*корень(79)=корень(79)
Z1Z2=AC-AZ1-CZ2=(1-5/13-5/11)*корень(79)=
=23143*корень(79)
Z1Z=AO-OZ1-AZ=(1-3/13-1/14)*корень(79)/2=127/364*корень(79)
з.ы.вроде так