Вопрос от посетителя
Даны длины высот треугольника, опущенных из вершин A и B, и длина биссектрисы угла C . Найти угол C.
Отвечает Илюха:
хорошая задачка, побольше бы таких.
Пусть основание биссектрисы M, длина L, и пусть высота ha из А к стороне СВ (основание обозначим N), высота hb из В к стороне СА. (Внимание! – ha и hb – НЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ! это просто обозначения высот. Все произведения отмечены *)
Тогда АВ = АМ + МВ; АМ/МB = СА/СВ; МВ = АВ/(1+СА/СВ);
СА = 2*S/hb; CB = 2*S/ha; S – площадь треугольника АВС.
СА/СВ = ha/hb; МВ = АВ/(1 + ha/hb);
Осталось провести препендикуляр из точки М на сторону СВ, пусть его основание на СВ – Р. Из подобия прямоугольных треугольников PMB и ANB следует
МР/АN = MB/AB; MP = ha/(1+ha/hb) = ha*hb/(ha + hb);
sin(C/2) = MP/CM = (1/L)*ha*hb/(ha + hb);
Это – ответ, смысла его как-то преобразовывать нет.