Вопрос от посетителя:
Даны векторы a и b такие, что угол(a;b)=5п/6; |a+b*|=1; |2a-b
|=
Найдите |3b-2a|
Илюха отвечает:
Найдем скалярное произведение: a”b” = ab*cos5П/6 = (-abкор3)/2 (1)
Теперь составим систему уравнений для нахождения a и b (модулей), скалярно умножив сами на себя вектора, приведенные в условии:
(a”+b”кор3)(a”+b”кор3) = a^2 + 2a”b”кор3 + 3b^2
(2a” – b”кор3)(2a” – bкор3) = 4a^2 – 4a”b”кор3 + 3b^2 (2)
Подставим (1) в (2) и получим систему чисто для модулей векторов a” и b”:
a^2 – 3ab + 3b^2 = 1
4a^2 + 6ab + 3b^2 = 31
Попробуем упростить:
Вычтем из второго – первое и получим: a(a+3b) = 10 (3)
Теперь домножим первое на 31 и вычтем второе:
27a^2 – 99ab + 90b^2 = 0
3a^2 – 11ab + 10b^2 = 0 однородное уравнение.
Делим на b^2 и обозначим a/b = t:
3t^2 – 11t + 10 = 0 D = 1 t1 = 2, t2 = 5/3
1. a/b = 2 и добавим (3)
a^2 + 3ab = 10
a = 2b a = 2
4b^2 + 6b^2 = 10 b = 1
Вектора 3a” и 2b” образуют треугольник с тем же углом 5П/6 между ними. Разность векторов это вектор соединяющий концы этих векторов – то есть третья сторона треугольника. Найдем ее по теореме косинусов:
|3b-2a| = кор{9b^2 + 4a^2 +2*3b*2a*(кор3)/2} = кор{9 + 16 + 12кор3}=
кор(25+12кор3).
2. a/b = 5/3
a^2 + 3ab = 10
a=5b/3 a = 5/(кор7)
25b^2 /9 +5b^2 = 10 5b^2 /9 + b^2 = 2 b = 3/(кор7)
|3b-2a| = кор{81/7 + 100/7 + 2*(9*10/7)*(кор3)/2}=
= [кор(181 + 90кор3)] / кор7
Ответ: кор(25+12кор3) ; [кор(181 + 90кор3)] / кор7